<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio

Integraalilaskennan peruslause

Esitiedot:differentiaalilaskennen väliarvolause

Integraalilaskennan keskeisin käsite on integraalifunktio, joka määritellään seuraavasti:

Määritelmä 1. Olkoon f välillä I määritelty funktio. Jos on olemassa derivoituva funktio F siten, että kaikissa I:n pisteissä x on voimassa ehto

( 1 ) F '(x) = f(x),

niin funktiota F sanotaan f:n integraalifunktioksi.

Differentiaalilaskennan väliarvolauseesta seuraa tärkeä integraalilaskennan peruslause:

Määritelmä 2. Olkoon f funktio, joka on jatkuva välillä [ab], derivoituva välillä (ab) ja  x  (ab) : f '(x) = 0. Silloin funktion f arvo on vakio välillä [ab].

Integraalilaskennan peruslauseen avulla voidaan todistaa seuraava integraalifunktion ominaisuus:

Määritelmä 3. Jos F on f:n integraalifunktio, niin kaikki f:n integraalifunktiot ovat muotoa F + C, missä C on vakio.

Tämän ominaisuuden todistaminen suoritetaan kahdessa vaiheessa. Osoitetaan ensin, että funktio F(x) + C on määritelmän mukainen f:n integraalifunktio: Koska F on integraalifunktio, niin F '(x) = f(x). Silloin

D(F(x) + C) = D(F(x)) + D(C) = F '(x) + 0 = F '(x),

siis funktio F(x) + C on määritelmän mukaan f:n integraalifunktio.

Todistuksen toisessa vaiheessa todistetaan seuraava ominaisuus: Jos G(x) on f:n integraalifunktio, niin se on muotoa F(x) + C. Olkoon G(x) f:n integraalifunktio. Tarkastellaan erotusfunktiota G(x) - F(x). Koska

D(G(x) - F(x)) = G'(x) - F '(x) = f - f = 0,

niin G(x) - F(x) on vakiofunktio integraalilaskennan peruslauseen nojalla. Merkitsemällä tätä vakiota C:llä saadaan

G(x) - F(x) = C G(x) = F(x) + C.

Siis todistuksen toinenkin osa on suoritettu ja näin tarkasteltava ominaisuus on todistettu.

Integraalifunktio ei siis ole yksikäsitteisesti määrätty, vaan niitä on ääretön määrä ja ne eroavat toisistaan vakiolla. Yksikäsitteinen integraalifunktio saadaan, jos asetetaan vaatimus, että integraalifunktiolla pitää olla määrätty arvo tietyssä kohdassa. Tällaisesta ehdosta vakio voidaan ratkaista. Tällaista vaatimusta sanotaan vakion C alkuehdoksi. Vakiota C sanotaan integroimisvakioksi.


<< >> Ylös Otsikko Hakemisto Kommunikaatio