<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Jatkuvan funktion ominaisuuksia

Esitiedot:funktion jatkuvuus

Määritelmä 31. Olkoot funktiot f ja g jatkuvia kohdassa x0. Silloin myös yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskulla saatavat funktiot f + g,f - g, fg ja f / g ovat jatkuvia tässä kohdassa. Osamäärän tapauksessa edellytetään, että g(x0 0.

Yhdistetty funktiog  f on jatkuva kohdassa x0, jos f on jatkuva kohdassa x0 ja g on jatkuva kohdassa f(x0). Jatkuvuuden avulla voidaan määrittää yhdistetyn funktion raja-arvo:

Määritelmä 32. Olkoon g jatkuva kohdassa y0 ja olkoon . Tällöin yhdistetylle funktiolle g  f on

( 37 ) .

Esimerkki 14. Olkoon funktio

a) f on jatkuva määrittelyjoukossaan, koska:

f1 : R  R : f1(x) = 1 + x2 on jatkuva R:ssä ja R(f1) = [1, ),

on jatkuva R+:ssa,

joten f1  f2 on jatkuva R:ssä. Edelleen

on jatkuva R+:ssa.

Samoin on f4(x) = x. Siispä

on jatkuva kun f4(x 0 eli x  0.

b) Voitaisiinko f määrittää jatkuvaksi kun x = 0?






.

Määrittelemällä

fj(x) on jatkuva R:ssä.

Lopuksi luetellaan kolme tärkeää suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuutta.

Määritelmä 33. Suljetulla välillä jatkuva funktio saa aina suurimman ja pienimmän arvonsa.

Määritelmä 34. Suljetulla välillä jatkuva funktio saa kaikki suurimman ja pienimmän arvonsa välissä olevat arvot.

Määritelmä 35. Jatkuva funktio ei voi muuttaa merkkiään saamatta arvoa nolla.

Kahdesta ensimmäisestä ehdosta seuraa, että suljetulla välillä jatkuvan funktion tällä välillä saamat arvot muodostavat suljetun välin.

Tehtävä 10. Millä vakion a arvolla funktio f on jatkuva:


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio