<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Funktion jatkuvuus

Esitiedot:funktion raja-arvo

Funktion jatkuvuuden käsitteellä on selvä havainnollinen sisältö: Jatkuvan funktion kuvaaja on yhtenäinen, katkeamaton käyrä. Funktion jatkuvuuden täsmällinen määritelmä perustuu raja-arvon käsitteeseen.

Määritelmä 25. Olkoon f pisteen x0 ympäristössä B(x0r) (r > 0) määritelty funktio, jolle

( 34 ) .

Silloin f on jatkuva pisteessä x0. Jos f ei ole jatkuva pisteessä x0 , sanotaan että se on epäjatkuva pisteessä x0.

Määritelmä 26. Funktio f on oikealta jatkuva pisteessä x0 , jos

( 35 ) .

Määritelmä 27. Funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä x0 , jos

( 36 ) .

Määritelmä 28. Funktio on jatkuva pisteessä x0 täsmälleen silloin, kun se on sekä oikealta että vasemmalta jatkuva pisteessä x0.

Määritelmä 29. Funktio f on jatkuva avoimella välillä (ab), jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä.

Määritelmä 30. Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [ab], jos se on jatkuva jokaisessa välin (ab) pisteessä ja oikealta jatkuva pisteessä a ja vasemmalta b:ssä. Funktion jatkuvuus puoliavoimilla väleillä määritellään vastaavalla tavalla.

Tyypillisiä epäjatkuvuuskohtia:

Kuva 1. Funktio f ei ole määritelty x0:ssa.

Kuva 2. Funktio f on oikealta jatkuva x0:ssa, mutta toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuruiset.

Kuva 3. Funktio f ei ole määritelty x0:ssa, f rajoittamaton.

Kuva 4. Funktio f ei ole jatkuva, koska sitä ei ole x0:ssa. Tässä tapauksessa f on mahdollista määritellä jatkuvaksi, koska on olemassa raja-arvo x0:ssa.

Esimerkki 13.

a) Polynomifunktio f : R  R : f(x) = anxn + ... + a1x + a0 on jatkuva R:ssä.

b) Potenssifunktio f : R+  R : g(x) = xa, a > 0, on jatkuva R+:ssa.

c) Rationaalifunktio

,

missä P(x) ja Q(x) ovat polynomeja ja

on jatkuva A:ssa.

Tehtävä 9. Ovatko seuraavat funktiot jatkuvia, kun x  R:

a)

b)

c)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio