<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Funktion raja-arvo

Esitiedot:lukusuora, funktioiden laskuoperaatioita

Raja-arvon käsite on analyysin peruskäsite. Siihen perustuvat muun muassa käsitteet jatkuvuus, derivaatta ja integraali. Koska raja-arvo on käsitteenä jokseenkin vaikea, perehdytään tässä raja-arvoon aluksi havainnollisesti.

Reaaliarvoisella funktiolla f on kohdassa x0  R raja-arvo a, jos funktion arvot f(x) saadaan mielivaltaisen () lähelle lukua a, kunhan vain muuttujan x  x0 arvot valitaan riittävän läheltä () lukua x0.

Määritelmä 16. Olkoon reaalifunktio f määritelty pisteen x0 jossain punkteeratussa ympäristössä B(x0) - {x0}, mutta ei välttämättä pisteessä x0. Olkoon lisäksi a  R. Tällöin funktiolla f on raja-arvoa pisteessä x0 eli

( 11 ) ,

jos

( 12 ) .

Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa sääntö jolla jokaisesta positiiviluvusta voidaan aina laskea sellainen positiiviluku että

jos x  B(x0) - {x0} niin f(x (a - a + ).

Luvun laskusääntö riippuu myös tarkastelupisteestä x0.

Esimerkki 7.f : R  R : f(x) = c. Tällöin

,

sillä voimme valita  = 1 ja   > 0 on voimassa

.

Esimerkki 8. Funktio f : R  R : f(x) = cx, c  R - {0}. Tällöin

,

sillä voimme valita ja   > 0 on voimassa


.

Edellä oleva määritelmä ei ole käyttökelpoinen raja-arvon laskemisessa, koska siinä tarvitaan "vahva ehdokas" raja-arvoksi. Määritelmästä voidaan kuitenkin johtaa sääntöjä, jotka helpottavat raja-arvon laskemista.

Määritelmä 17. Olkoot ja olemassa. Tällöin

( 13 ) ,

( 14 ) ,

( 15 ) ,

( 16 ) , mikäli eli B  0.

Mikäli h(A) (tai sen raja-arvo) on olemassa, niin

( 17 ) .

Raja-arvoa määritettäessä yksinkertaisimmissa tapauksissa saadaan funktion raja-arvo suoraan sijoittamalla funktion muuttujan paikalle luku, jota muuttuja lähenee. Suora sijoitus voi kuitenkin joissain tapauksissa johtaa määrittelemättömään muotoon, joita käsiteltiin äärettömän yhteydessä reaaliluvuissa. Tällöin suora sijoitus ei tietenkään ole sallittu.

Esimerkki 9.





= 1 - (-1) + 1 = 3.

Tehtävä 5. Määritä seuraavat raja-arvot:

a) ,

b) ,

c) .


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio