Funktioiden laskuoperaatioita

Esitiedot:funktioiden ominaisuuksia

Määritelmä 14. Olkoon f bijektiivinen funktio. Silloin funktio f ^-1, joka on määritelty f:n arvojoukossa B ja jokaisella B alkiolla f(x) toteuttaa yhtälön

( 7 ) ,

on f:n käänteisfunktio. Jokaisella aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio.

Esimerkki 5. Identiteettikuvauksen eli funktion f : R  R : f(x) = x käänteisfunktio on funktio f itse, sillä f on aidosti monotoninen ja R(f) = R = D(f^-1) sekä

x = f(f^-1(x)) = f^-1(x)

ja kuvaajaksi tulee suora y = x.

Määritelmä 15. Olkoon f aidosti monotoninen määrittelyjoukossaan. Tällöin f:n käänteisfunktio on olemassa ja

( 8 ) D(f^-1) = R(f),

( 9 ) R(f^-1) = D(f).

Lisäksi

( 10 )

.

Havaitsemme, että f^-1(x) saadaan, kun yhtälöstä f(y) = x ratkaistaan y ja että funktioiden f^-1 ja f kuvaajat ovat symmetriset suoran y = x suhteen.

Funktioille on määritelty peruslaskutoimitukset ilmeisellä tavalla. Olkoot f ja g funktioita. Tällöin määritetään näiden

yhteenlaskuf + g : (f + g) (x) = f(x) + g(x),

vähennyslaskuf - g : (f - g) (x) = f(x) - g(x),

kertolaskufg : (fg) (x) = f(x)g(x),

jakolasku.

Esimerkki 6. Olkoon f(x) = 2x + 1 ja g(x) = x². Silloin näiden funktioiden

a) yhteenlasku (f + g)(x) = 2x + 1 + x² = x² + 2x + 1

b) vähennyslasku (f - g)(x) = 2x + 1 - x² = -x² + 2x + 1

c) vähennyslasku (g - f)(x) = x² - (2x + 1) = x² - 2x - 1

d) kertolasku (fg)(x) = (2x + 1)x² = 2x³ + x²

e) jakolasku , kun x  0

f) jakolasku , kun x  -

Tehtävä 2. Funktio f(x) = 5 - 3x. Määritä

a) f(x^-1)

b) (f(x))^-1

c) f^-1(x)

Tehtävä 3. Funktio f(x) = 3x² ja g(x) = 2x + 5. Määritä

a) f  g

b) g  f

c) g  g

Tehtävä 4. Funktio ja g(x) = x + 1. Määritä

a) f  g

b) g  f