<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Funktion ominaisuuksia

Esitiedot:kuvaus, juuret

Määritelmä 8. Jos f : A  B on funktio ja A1  A, niin funktiota gA1  B, joka toteuttaa ehdon

( 3 ) g(x) = f(x), kun x  A1,

sanotaan funktion f rajoittumaksi joukkoon A1. Funktiosta g : A1  B käytetään myös nimitystä restriktio.

Määritelmä 9. Olkoon f funktio joukolta A joukkoon B ja g funktio joukolta B joukkoon C. Tällöin jokaista A:n alkiota xvastaa yksikäsitteisesti määrätty B:n alkio f(x). Tämän kuvana puolestaan on yksikäsitteisesti määrätty C:n alkio g(f(x)).

Täten on olemassa funktioista f ja g yhdistetty funktioA  C, joka siis kuvaa A:n alkion xC:n alkioksi g(f(x)). Tästä funktiosta käytetään merkintää g  f, missä f on sisäfunktio ja g ulkofunktio. Yhdistetty funktio g  f on olemassa, jos f:n arvojoukolla ja g:n määrittelyjoukolla on yhteisiä alkioita, eli niiden leikkaus ei ole tyhjä. Tällöin

( 4 ) .

Esimerkki 3.

g : R  R : g(w) = 1 - w2

Funktion f arvojoukko R(f) = [0, ) ja g:n arvojoukko R(g) = (-, 1].

Yhdistetyn funktion g  f määrittelyjoukko




ja

.

Yhdistetyn funktion f  g määrittelyjoukoksi saadaan




ja

.

Vastalukujen parilliset potenssit ovat yhtäsuuria eli (-x)2n = x2n ja parittomat potenssit ovat vastalukuja eli (-x)2n + 1 = -(x2n + 1). Näiden ilmiöiden yleistyksenä saadaan:

Määritelmä 10. Parilliseksi funktioksi nimitetään sellaista funktiota f, joka on määritelty A:ssa ja jolle on voimassa ehto

( 5 )  x  A : f(-x) = f(x).

Määritelmä 11. Parittomaksi funktioksi nimitetään sellaista funktiota f, joka on määritelty A:ssa ja jolle on voimassa ehto

( 6 )  x  A : f(-x) = -f(x).

Parillisen funktioin kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen ja parittoman funktio kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Esimerkki 4.

a) f : R  R : f(x) = x2 - 1 on parillinen

b) g : R  R : g(x) = x3 on pariton

Määritelmä 12. Yleisesti sanotaan, että funktio f on jaksollinen, jos on olemassa reaaliluku a  0 siten, että kaikilla määrittelyjoukkoon kuuluvilla arvoilla x ja x + a on voimassa ehto f(x) = f(x + a). Lukua a sanotaan funktion jaksoksi.

Funktion pienintä positiivista jaksoa sanotaan sen perusjaksoksi. Muut jaksot ovat perusjakson monikertoja. Usein käytetään merkintää f(x) = f(x + nb), missä b on perusjakso ja n  Z.

Määritelmä 13. Olkoon f funktio. Silloin se on määrittelyjoukossaan (tai sen osajoukossa)

kasvava, jos x1 < x2  f(x1 f(x2),

aidosti kasvava, jos x1 < x2  f(x1) < f(x2),

vähenevä, jos x1 < x2  f(x1 f(x2),

aidosti vähenevä jos x1 < x2  f(x1) > f(x2).

Funktio on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Vastaavasti funktio on aidosti monotoninen, jos se on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Jos funktio ei ole koko määrittelyjoukossaan monotoninen, niin se saattaa olla kuitenkin jossain osajoukossa monotoninen. Esimerkiksi edellinen jaksollinen funktio on paloittain kasvava ja vähenevä.

Jos funktio on aidosti kasvava, sanotaan sen säilyttävän järjestyksen. Vastaavasti aidosti vähenevä funktio kääntää järjestyksen. Nämä nimitykset seuraavat tavasta, jolla aito kasvaminen ja väheneminen on määritelty.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio