<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Kuvaus

Esitiedot:joukko-oppi, logiikka, potenssi

Määritelmä 1. Olkoot A ja B joukkoja. Tulojoukon A  B jokaista osajoukkoa sanotaan kaksipaikkaiseksi relaatioksi joukosta A joukkoon B. Relaatiolle S joukosta A joukkoon B käytetään merkintää S : A  B. Sen lähtöjoukkona on A ja maalijoukkonaB. Jos A = B, niin S on relaatio joukossa A eli joukon A relaatio ja merkitsemme A  A = A2.

Määritelmä 2. Funktiolla eli kuvauksellaf : A  B tarkoitetaan sellaista relaatiota joukosta A joukkoon B, joka liittää joukon A jokaisen alkion x täsmälleen yhteen joukon B alkioon y ja merkitään y = f(x). Funktion f lähtöjoukko eli määrittelyjoukko D(f) on tällöin A ja maalijoukko on B.

Esimerkki 1. Seuraava ei ole kuvaus, sillä A:n alkiolla 1 on kaksi kuvaa ja alkiolla 2 ei ole lainkaan kuvaa.

Jos y = f(x), niin y on funktion arvo muuttujan arvolla x. Myös sanotaan, että y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva.

Määritelmä 3. Muuttujan arvo, jolla funktio saa arvon nolla, on funktion nollakohta.

Määritelmä 4. Funktion f kaikkien arvojen joukkoa sanotaan arvojoukoksiR(f). Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko.

Joskus, kun tarkasteltavaa kuvausta ei haluta nimetä, merkitään näkyviin pelkästään kuvauksen määrittävä sääntö muodossa x  lauseke. Esimerkiksi x  2x + 3 on tällainen merkintä.

Koska jokaista joukon R  R = R2 järjestettyä paria (xy) vastaa täsmälleen yksi piste xy -koordinaatistossa saadaan relaation kuvaaja kun relaation alkiot esitetään pisteinä xy -koordinaatistossa. Jos relaatio on funktio, niin relaation kuvaaja leikkaa jokaisen y-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran.

Esimerkki 2. Olkoon relaatiot

,

.

F on funktio, sillä arvot y = f(x) ovat yksikäsitteisiä. Tämä nähdään siitä, että tilanne

x1 = x2  f(x1 f(x2)

eli

x1 = x2  x12  x22.

on mahdoton. F:n lähtö- ja maalijoukko on R, määrittelyjoukko on D(F) = R ja arvojoukko on R(F) = R+.

G ei ole funktio, sillä kaikki arvot y = g(x) eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkiksi (2, -4)  G ja (2, 4)  G.

Määritelmä 5. Funktio f : A  B on injektio eli injektiivinen funktio, jos

( 1 )  x1x2  A: (f(x1) = f(x2 x1 = x2).

Injektio ei siis saa eri pisteissä samaa arvoa. Jokaisella kuvalla on vain yksi alkukuva. Injektion kuvaaja leikkaa x-akselin suuntaisen suoran enintään yhden kerran.

Määritelmä 6. Funktio f : A  B on surjektio eli surjektiivinen funktio, jos sen arvojoukko on sama kuin maalijoukko eli

( 2 ) R(f) = B.

Tällöin jokaisella B:n alkiolla on vähintään yksi alkukuva joukossa A.

Määritelmä 7. Funktio f : A  B on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Siis jokaisella B:n alkiolla on täsmälleen yksi alkukuva. Tällöin sanotaan myös, että lähtö- ja maalijoukon alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus.

Tehtävä 1. Määritä funktioiden määrittely ja arvojoukot:

a) f : R  R : (x + 1)2

b) g : R  R : 

b) h : R  R : 


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio