<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Ääriarvosovellusten ratkaiseminen

Esitiedot:funktion ääriarvojen määrittäminen

Ääriarvosovellusten ratkaiseminen käy pääpiirteissään seuraavasti:

1. Valitaan sopivat muuttujat.

2. Tehtävän ehtojen perusteella muodostetaan yhden muuttujan funktio f.

3. Määritetään f:n määrittelyjoukko.

4. Lasketaan kysytty f:n ääriarvo tai ääriarvokohta. Suurimman tai pienimmän arvon olemassaolo perusteltava sitovasti.

5. Vastauksen muotoilu.

Esimerkki 20. Olkoon suoran ympyrälieriön muotoisen säilykepurkin tilavuus V. Purkin muodon määrää sen korkeuden h suhde pohjaympyrän halkaisijaan 2r. Kuinka suuri on h : 2r silloin, kun purkin kokonaispinta-ala on mahdollisimman pieni? Tällöin sen valmistamiseen tarvitaan mahdollisimman vähän peltiä.

Muuttujat h ja r sitoo toisiinsa yhtälö

Purkin kokonaispinta-alan ilmoittaa lauseke

Määritetään funktion ääriarvo välillä (0, ):

f '(r) = 0
 2r3 = V

Koska funktion toinen derivaatta on koko määrittelyjoukossa positiivinen, on ääriarvon laatu minimi ja siten myös A saa pienimmän arvon, kun

Tällöin

Pinta-alaltaan pienimmän purkin korkeus on siis sama kuin sen pohjan halkaisija.

Animaatio 1.Ääriarvotehtävä.

Tehtävä 13. Kolmion yksi kärki on ympyrän keskipisteessä ja kaksi kärkeä ympyrän kehällä. Mikä on suurimman tällaisen kolmoin pinta-alan suhde ympyrän pinta-alaan?

Tehtävä 14. Juoksurata kiertää suorakulmion muoitoisen pelikentän, jonka molemmissa päissä on puoliympyrän muotoinen kaari. Mikä on suurimman mahdollisen kentän pinta-ala, kun radan pituus on 400 metriä?


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio