<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Differentiaalilaskennan väliarvolause

Esitiedot:derivaattafunktio

Differentiaalilaskennan väliarvolause eli lyhyemmin väliarvolause antaa keinon funktion tutkimiseksi sen derivaatan avulla. Väliarvolause nimittäin on tärkeä työkalu todistettaessa differentiaali- ja integraalilaskennan lauseita täsmällisesti.

Määritelmä 24. Olkoon funktio f jatkuva välillä [ab] ja derivoituva välillä (ab). Tällöin on olemassa ainakin yksi sellainen kohta x0  (ab), että

( 49 )

eli

( 50 ) f(b) - f(a) = f '(x0)(b - a).

Väliarvolause voidaan tulkita seuraavasti: Jos käyrän pisteiden (a, f(a)) ja (bf(b)) kautta piirretään suora s, niin käyrältä löytyy sellainen kohta x = x0, johon piirretty tangentti t on yhdensuuntainen suoran s kanssa.

Esimerkki 19. Funktion f(x) derivaatta toteuttaa välillä [0, 4] ehdon 0  f '(x 0,5. Tehdään arvio funktion arvosta kohdassa x = 2, kun f(0) = 1.

Väliarvolauseen perusteella voidaan välille [0, 4] kirjoittaa

f(2) - f(0) = f '(x0)(2 - 0)
 f(2) = f(0) + 2 f '(x0) = 1 + 2 f '(x0).

Koska 0  f '(x 0,5 saadaan f(2):lle ylä- ja alaraja:

f(2)  1 + 2  0 = 1
f(2)  1 + 2  0,5 = 2

joten 1  f(2)  2.

Tehtävä 12. Etsi sellainen t, joka toteuttaa välillä (0, 3) fuktiolle f(x) = x2 - 5x + 1 väliarvolauseen.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio