Esitiedot:derivaattafunktio
Differentiaalilaskennan väliarvolause eli lyhyemmin väliarvolause antaa keinon funktion tutkimiseksi sen derivaatan avulla. Väliarvolause nimittäin on tärkeä työkalu todistettaessa differentiaali- ja integraalilaskennan lauseita täsmällisesti.
Määritelmä 24. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä (a, b). Tällöin on olemassa ainakin yksi sellainen kohta x0 
(a, b), että
( 49 ) 
eli
( 50 ) f(b) - f(a) = f '(x0)(b - a).
Väliarvolause voidaan tulkita seuraavasti: Jos käyrän pisteiden (a, f(a)) ja (b, f(b)) kautta piirretään suora s, niin käyrältä löytyy sellainen kohta x = x0, johon piirretty tangentti t on yhdensuuntainen suoran s kanssa.
Esimerkki 19. Funktion f(x) derivaatta toteuttaa välillä [0, 4] ehdon 0 
f '(x) 0,5. Tehdään arvio funktion arvosta kohdassa x = 2, kun f(0) = 1.
Väliarvolauseen perusteella voidaan välille [0, 4] kirjoittaa
f(2) - f(0) = f '(x0)(2 - 0)
f(2) = f(0) + 2 f '(x0) = 1 + 2 f '(x0).
Koska 0 f '(x) 0,5 saadaan f(2):lle ylä- ja alaraja:
f(2) 
1 + 2 
0 = 1
f(2) 1 + 2 0,5 = 2
joten 1 f(2) 2.
Tehtävä 12. Etsi sellainen t, joka toteuttaa välillä (0, 3) fuktiolle f(x) = x2 - 5x + 1 väliarvolauseen.