<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Funktion ääriarvojen määrittäminen

Esitiedot:funktion jatkuvuus, derivaattafunktio

Aivan ensimmäiseksi määritellään funktion ääriarvot.

Määritelmä 15. Jos funktio f toteuttaa kohdan c jossain ympäristössä ehdon

( 40 ) f(x f(c),

niin c on f:n paikallinen eli lokaali maksimikohta ja f(c) paikallinen maksimi.

Määritelmä 16. Jos funktio f toteuttaa kohdan d jossain ympäristössä ehdon

( 41 ) f(x f(d),

niin d on f:n paikallinen eli lokaali minimikohta ja f(d) paikallinen minimi.

Paikallinen maksimi ja paikallinen minimi ovat paikallisia ääriarvoja.

Kuva 3. Käyrän paikallisia minimejä ja maksimeja.

Määritelmä 17. Olkoon funktio g : A  B ja c  A. Jos g toteuttaa ehdon

( 42 )  x  A : g(x g(c),

niin funktiolla g sanotaan olevan joukossa A kohdassa c globaali maksimi g(c).

Määritelmä 18. Olkoon funktio g : A  B ja d  A. Jos g toteuttaa ehdon

( 43 )  x  A : g(x g(d),

niin funktiolla g sanotaan olevan joukossa A kohdassa d globaali minimi g(d).

Globaali maksimi ja globaali minimi ovat globaaleja ääriarvoja.

Näiden määrittelyjen jälkeen päästään tarkastelemaan tapoja ääriarvojen laskemiseksi. Aiemmin on jo ollut puhetta, että funktion derivaatan ominaisuuksista voidaan päätellä monia itse funktiota koskevia asioita. Tämä on yksi syy siihen, että derivaatta on niin tärkeä käsite matematiikassa.

Funktion kululla ja derivaatan etumerkillä on seuraavat yhteydet:

Määritelmä 19. Olkoon funktio f jatkuva välillä [ab] ja derivoituva välillä (ab). Jos välillä (ab) on

( 44 ) f '(x 0, niin f on kasvava välillä [ab],

( 45 ) f '(x 0, niin f on vähenevä välillä [ab],

( 46 ) f '(x) > 0, niin f on aidosti kasvava välillä [ab],

( 47 ) f '(x) < 0, niin f on aidosti vähenevä välillä [ab],

( 48 ) f '(x) = 0, niin f on vakio välillä [ab].

Esimerkki 15. Polynomin y = x2 kuvaaja on aidosti kasvava, kun x > 0 ja aidosti vähenevä, kun x < 0.

Määritelmä 20. Mikäli jatkuvan funktion f(x) derivaatta f '(x 0 on vain yksittäisissä kohdissa nolla tai ei ole olemassa, niin f on aidosti kasvava välillä [ab].

Esimerkki 16. Polynomin y = x3 kuvaaja on aidosti kasvava, sillä sen derivaatta x2 on aina positiivinen lukuunottamatta kohtaa, x = 0, jossa derivaatan arvo on nolla.

Määritelmä 21. Mikäli jatkuvan funktion f(x) derivaatta f '(x 0 on vain yksittäisissä kohdissa nolla tai ei ole olemassa, niin f on aidosti vähenevä välillä [ab].

Esimerkki 17. Hyperbelin y = x-1 kuvaaja on jatkuva, kun x  R - {0}. Kuvaaja on aidosti vähenevä, sillä sen derivaatta -x-2 on määrittelyjoukossa aina negatiivinen.

Edellisten määritelmien perusteella voidaan johtaa seuraava yhteys funktion derivaatan ja ääriarvon laadun välille:

Määritelmä 22. Olkoon funktio f jatkuva kohdassa x0 ja derivoituva kohdan x0 jossain ympäristössä tätä kohtaa mahdollisesti lukuunottamatta. Jos kohtaa x0 ohitettaessa vasemmalta oikealle derivaatta muuttuu

1. positiivisesta negatiiviseksi, niin x0 on maksimikohta,

2. negatiivisesta positiiviseksi, niin x0 on minimikohta.

Määritelmä 23. Jos f on kahdesti derivoituva x0:ssa, niin tätä toista derivaattaa voidaan käyttää myös ääriarvon laadun määrittämiseen. Jos siis f '(x0) = 0, niin x0 on

1. maksimikohta, jos f ''(x0) < 0,

2. minimikohta, jos f ''(x0) > 0.

Tarkkaavainen lukija havainnee, että yllä olevissa tarkasteluissa ei mainita erikseen ääriarvon paikallisuutta tai globaalisuutta. Perusteluksi tähän menettelyyn mainittakoon, että kohdan x0 oleminen paikallisena ääriarvokohtana on välttämätön edellytys sille, että x0 on globaali ääriarvokohta. Siis jokainen globaali ääriarvo on myös paikallinen, mutta kaikki paikalliset ääriarvot eivät ole globaaleja.

Lopuksi luettelo funktion paikallisen ääriarvon mahdollisista kohdista: Funktion paikallinen ääriarvo voi esiintyä

1. derivaatan nollakohdassa,

2. (mahdollisissa) välin päätepisteissä,

3. funktion epäjatkuvuuskohdissa,

4. niissä muissa kohdissa, joissa derivaattaa ei ole olemassa.

Esimerkki 18. Funktio f(x) on paloittain määritetty

f(x) ei ole jatkuva kohdassa x = -2, sillä toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret:


f(x) on jatkuva kohdassa x = 2, sillä toispuoleiset raja-arvot ovat yhtäsuuret:

Funktion derivaatta

ei ole jatkuva kohdassa -2, sillä itse funktiokaan ei ole tässä jatkuva, eikä myöskään kohdassa 2, sillä toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuruiset:

f-'(2) = -4,
f+'(2) = 1.

Etsitään ääriarvot eri tapauksissa:

1. Derivaatalla on nollakohta, kun x saa arvon 0. Tällöin toinen derivattaa on f ''(0) = -2, eli kyseinen arvon on paikallisen maksimin f(0) = 0.

2. Välin päätepisteissä funktio saa paikalliset maksimit f(-4) = 2 ja f(5) = -1.

3. Funktio on epäjatkuva kohdassa x = -2, mutta se ei saa siinä minimiä, sillä väli on avoin: kun x lähestyy arvoa -2 oikealta tavoittamatta sitä, on funktion arvo yhä lähempänä arvoa -4. Funktio on siis alhaalta rajoitettu, mutta sillä ei tässä kohdassa ole pienintä arvoa.

4. Funktiolla ei ole olemassa derivaattaa kohdassa x = 2 ja funktio saa tässä paikallisen minimin f(2) = -4.

Globaalit ääriarvot: maksimi f(-4) = 2 ja minimi f(2) = -4.

Muita paikallisia ääriarvoja: maksimi f(0) = 0, f(5) = 1.

Tehtävä 9. Etsi funktion paikalliset minimit ja maksimit, kun x  R+.

Tehtävä 10. Etsi funktion sin(x) + x paikalliset minimit ja maksimit, kun x  [0, 2].

Tehtävä 11. Etsi funktion ex + e-x paikalliset minimit ja maksimit, kun x  R.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio