<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Trigonometristen funktioiden derivaatat

Esitiedot:sini ja kosini, tangentti ja kotangentti, derivointisääntöjä

Kirjataan ilman todistusta sinin ja kosinin derivaattafunktiot:

( 28 ) D sin(x) = cos(x),

( 29 ) D cos(x) = -sin(x).

Esimerkki 11. Määritetään tan(x):n derivaatta:



( 30 )

Samalla tapaa saadaan myös cot(x);n derivaatta määritettyä:

( 31 )

Tehtävä 5. Määritä seuraavien funktioiden derivaatat

a) f(x) = sin(x2)

b) g(x) = sin2(x)

c) h(x) = cos(x) sin2(x)

Esimerkki 12. Määritetään käänteisfunktion derivaatan kaavalla arcsin(x):n derivaatta:

f(x) = sin(x), f '(x) = cos(x), f -1(x) = arcsin(x)

Tarkastellaan kaavan nimittäjää yksikköympyrässä. Funktion arcsin(x) arvo ilmoittaa sen kulman suuruuden, jolle sinin arvo eli kehäpisteen Py -koordinaatti on suuruudeltaan x. Kun tästä kulmasta otetaan kosini, saadaan kehäpistettä vastaava x -koordinaatti.

Jos tarkastellaan yksikköympyrään syntyvää suorakulmaista kolmiota, niin sen hypotenuusa on 1 ja pystysuoran kateetin pituus on x. Tällöin vaakasuora kateetti on Pythagoraan lauseen mukaisesti ja tämä on myös kehäpisteen Px -koordinaatti, joten

( 32 )

Samalla tavalla saadaan määriteltyä muiden arkusfunktioiden derivaatat.

( 33 )

( 34 )

( 35 )

Tehtävä 6. Määritä seuraavien funktioiden derivaatat

a) f(x) = arcsin(x2)

b) , kun x  [0, 1).


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio