Derivointisääntöjä

Esitiedot:polynomi, derivaattafunktio

Derivaattafunktion määrittäminen voidaan periaatteessa tehdä aina derivaatan määritelmän avulla. Tämä kuitenkin on työläs tapa, joten on syytä tarkastella helpompia menetelmiä. Useissa tapauksissa riittää soveltaa seuraavassa lueteltuja mekaanisia derivoimissääntöjä.

Määritelmä 7. Vakiofunktion derivaatta on nollafunkio, c  R:

( 19 ) D c = 0.

Määritelmä 8. Potenssifunktion derivointi,  r  Q - {0}:

( 20 ) D x^r = rx^r-1.

Esimerkki 5. Juurilauseke derivoidaan edellisen kaavan mukaisesti, sillä

joten esimerkiksi

Määritelmä 9. Vakiotermin siirtosääntö, c  R:

( 21 ) D(cf(x)) = cD f(x).

Määritelmä 10. Yhteenlaskun derivoimissääntö:

( 22 ) D(f(x) + g(x)) = D f(x) + D g(x).

Esimerkki 6. Polynomin derivointi:

D(x² + 4x + 3)
= D(x²) + 4D(x) + D(3)
= 2x^2-1 + 4x^1-1 + 0
= 2x + 4.

Määritelmä 11. Kertolaskun derivoimissääntö:

( 23 ) D(f(x)g(x)) = f '(x)g(x) + f(x)g '(x).

Esimerkki 7. Binomien tulon derivaatta

D((x + 3)(x + 1))
= D(x + 3)(x + 1) + (x + 3)D(x + 1)
= 1(x + 1) + (x + 3)1
= 2x + 4.

Määritelmä 12. Jakolaskun derivoimissääntö:

( 24 )

( 25 )

Esimerkki 8. Binomien osamäärän derivaatta

Tehtävä 3. Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

a) f(x) = 3x⁴ - 5x²

b) g(x) = x^-2 + 5x^-3

c)

Määritelmä 13. Yhdistetyn funktion derivoimissääntö:

( 26 ) D(g  f)(x) = D(g(f(x)) = g '(f(x)) f '(x).

Esimerkki 9. Binomin potenssin derivaatta

D((x² + 3)⁴)
= 4(x² + 3)^4-1 D(x² + 3)
= 4(x² + 3)³ 2x
= 8x(x² + 3)³.

Tehtävä 4. Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

a)

b)

Määritelmä 14. Käänteisfunktion derivoimissääntö on

( 27 ) ,

missä f '(f ^-1(x))  0.

Esimerkki 10. Määritetään funktion f : R₊  R₊ : f(x) = x² käänteisfunktion derivaatta:

Koska f '(x) = 2x ja , niin

joka voidaan todeta myös suoraan potenssin derivaatan avulla.