<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Derivaattafunktio

Esitiedot:erotusosamäärä

Määritelmä 2. Olkoon funktio f määritelty pisteen x0 eräässä ympäristössä. Funktion f derivaatta kohdassa x0 on erotusosamäärän raja-arvo, kun x  0. Funktion f derivaatalle kohdassa x0 käytetään merkintää '(x0).

Derivaatan määrittely voidaan esittää muodossa

( 5 )

tai

( 6 )

Yleinen derivaatta funktiolle f(x) mielivaltaisessa pisteessä x saa muodon

( 7 )

Derivaattafunktion arvoa kohdassa x sanotaan funktion f derivaataksi. Funktion derivoimisella tarkoitetaan sen derivaatan määrittämistä. Sanalla derivaatta voidaan siis viitata toisaalta erotusosamäärän raja-arvoon, toisaalta derivaattafunktion arvoon. Käsitteinä nämä ovat eri asioita. Siksi lukijan tuleekin päätellä yhteydestä, kumpaa tarkoitetaan.

Esimerkki 2. Määritetään funktion f(x) = x2 derivaatta:



Tehtävä 2. Määritä seuraavien funktioiden derivaatat:

a)

b)

Määritelmä 3. Erotusosamäärän toispuoleisia raja-arvoja sanotaan funktion toispuoleisiksi derivaatoiksi. Funktion f vasemmanpuoleinen derivaatta kohdassa x0 on

( 8 )

Funktion f oikeanpuoleinen derivaatta kohdassa x0 on

( 9 )

Jos funktiolla f on derivaatta kohdassa x, sanotaan, että f on derivoituva tässä kohdassa. Funktio f on derivoituva avoimella välillä (ab), jos sillä on derivaatta välin jokaisssa pisteessä. Funktio f on derivoituva suljetulla välillä [ab], jos se on derivoituva välillä (ab) sekä derivoituva oikealta kohdassa a ja vasemmalta kohdassa b.

Jollain välillä derivoituvaan funktioon f : x  f(x) liittyy täten samalla välillä määritelty funktio f ' : x  f '(x). Funktiota f ' sanotaan funktion f derivaattafunktioksi. Voidaan merkitä myös

( 10 )

Esimerkki 3. Esityksen viimeistä muotoa käytetään erityisesti silloin, kun derivoiva muuttuja on aika. Esimerkiksi nopeus v on matkan s aikaderivaatta ja kiihtyvyys a on nopeuden aikaderivaatta:

Funktion derivoituvuudella ja jatkuvuudella on tärkeä yhteys:

Määritelmä 4. Jos funktio on kohdassa x0 derivoituva, niin se on tässä kohdassa myös jatkuva. Käänteinen väite ei pidä paikkaansa, siis funktion jatkuvudesta ei seuraa derivoituvuutta.

Määritelmä 5. Funktio on kohdassa x0 derivoituva, jos ja vain jos sen toispuoleiset derivaatat ovat voimassa ja yhtäsuuret. Tällöin on

( 11 ) f '(x0) = f-'(x0) = f+'(x0).

Tärkeä derivaattafunktion ominaisuus on sen raja-arvo:

Määritelmä 6. Olkoon funktio f jatkuva kohdassa x0 ja derivoituva, kun x  x0. Jos raja-arvo on olemassa, niin f on derivoituva myös kohdassa x0 ja

( 12 )

Vastaavasti toispuoleiset raja-arvot

( 13 )

ja

( 14 )

Esimerkki 4. Määritetään funktion derivaatta, kun x saa arvon 2. Tehdään tämä määrittämällä toispuoliset derivaatat:



Koska toispuoleiset derivaatat ovat eri suuruiset, ei funktioilla ole derivaattaa kohdassa x = 2.

Toisinaan derivointi joudutaan tekemään useampaan kertaan eli derivoimaan uudestaan edellisen derivoinnin tulos. Tällöin puhutaan toisesta, kolmannesta, ... derivaatasta.

( 15 ) f ''(x) = D f '(x).

Seuraavassa toiselle, kolmannelle ja neljännelle derivaatalle erilaisia merkitsemistapoja:

( 16 )

( 17 )

( 18 )


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio