<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Erotusosamäärä

Esitiedot:funktion raja-arvo

Annetun jatkuvan reaalifunktion piirtäminen on periaatteessa yksinkertaista: Lasketaan sopiva määrä kuvaajan pisteitä ja piirretään niiden kautta yhtenäinen viiva. Jos annettu funktio on esimerkiksi kaikkialla kasvava, niin kuvaajan piirtämiseen riittää usein jo muutama piste. Jos funktio sen sijaan ei ole monotoninen, niin usein joudutaan laskemaan enemmän pisteitä, jotta saadaan selville kohdat, joissa funktion kuvaajan kulku muuttuu.

Ryhdytään tarkastelemaan tehokkaampia menetelmiä, joiden avulla voidaan tutkia funktion arvojen muuttumista. Muodostetaan eräänlainen mitta, joka ilmoittaa, kuinka voimakkaasti funktio kasvaa tai vähenee kussakin kohdassa. Tämän avulla voidaan muun muassa määrittää ne kohdat, joissa funktion suunta vaihtuu.

Funktion erotusosamäärä on keino tarkastella funktion käyttäytymistä. Olkoon f reaalifunktio, x0 sellainen piste, jonka jossain ympäristössä f on määritelty ja x tämän ympäristön piste (x  x0). Silloin erotusosamäärä

( 1 )

voidaan tulkita funktion f keskimääräiseksi muutosnopeudeksi pisteiden x0 ja x välillä. Geometriselta merkitykseltään erotusosamäärä on käyrän y = f(x) pisteiden (x0f(x0)) ja (xf(x)) kautta kulkevan sekantin kulmakerroin.

Kuva 1. Käyrän sekantti.

Erotusosamäärän avulla siis saadaan selville funktion keskimääräinen muutosnopeus tietyllä välillä. Tätä tarkastelua voidaan kehittää edelleen siten, että saadaan selville funktion muutosnopeus tietyssä pisteessä. Tämä tehdään tarkastelemalla erotusosamäärän raja-arvoa

( 2 )

Mikäli tämä raja-arvo on olemassa, geometrisessa mielessä se ilmoittaa käyrän y = f(x) pisteen (x0f(x0)) kautta kulkevan tangenttisuoran kulmakertoimen. Tätä raja-arvoa sanotaan derivaataksi ja se siis kertoo funktion muutosnopeuden kohdassa x0.

Kuva 2. Käyrän tangentti

Määritelmä 1. Olkoon f funktio, joka on määritelty pisteen x0 jossain ympäristössä. Olkoon x jokin tämän ympäristön piste. Erotus x = x - x0 on muuttujan muutos kohdasta x0 kohtaan x ja erotus f = f(x) - f(x0) on vastaava funktion arvon muutos. Näiden avulla saadaan erotusosamäärä

( 3 )

kohdasta x0 kohtaan x  x0.

Erotusosamäärä voidaan kirjoittaa myös muotoon

( 4 )

missä h = x  0.

Esimerkki 1. Määritetään funktion erotusosamäärä, kun x0 = -1:

Kun x saa arvon -1, on erotuosamäärän arvo .

Tehtävä 1. Määritä erotusosamäärän arvo seuraaville funktioille, kun x0 = 2:

a) f(x) = x2 + 3x

b)


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio