<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Hyperbeli

Esitiedot:rationaalilausekkeet, kanta ja koordinaatisto

Ennen hyperbelin tarkastelua, määritellään asymptootin käsite:

Määritelmä 10. Tasoon piirretyn käyrän asymptootti on sellainen suora (tai käyrä), jota käyrä lähestyy rajatta saavuttamatta sitä millään muuttujan arvolla.

Määritelmä 11. Hyperbeli määritellään geometrisesti niiden pisteiden joukkona, joiden etäisyyksien erotuksen itseisarvo kahdesta annetusta pisteestä on vakio.

Nämä kaksi pistettä ovat hyperbelin polttopisteet. Keskipiste on polttopisteiden yhdysjanan keskipiste. Poikittaisakseli on polttopisteiden kautta kulkevalla suoralla ja liittoakseli on polttopisteiden yhdysjanan keskinormaalilla. Hyperbeli koostuu kahdesta erillisestä pistejoukosta, joita sanotaan sen haaroiksi.

Analyyttisen geometrian näkökulmasta on muutama eri yhtälö, joiden kuvaaja on hyperbeli. Ensimmäiset näistä yhtälöistä ovat

( 13 )

ja

( 14 )

joissa a, b > 0.

Ensimmäisen hyperbelin poikittaisakseli on x-akselilla ja liittoakseli on y-akselilla. Jälkimmäisellä akselit ovat toisin päin eli poikittaisakseli on on y-akseli ja liittoakseli on x-akseli. Molempien käyrien asymptootit ovat suorat

( 15 ) .

Kuva 10. Yhtälön kuvaaja

Kuva 11. Yhtälön kuvaaja

Myös yhtälön

( 16 ) xy = a,

jossa a  R - {0}, kuvaaja on hyperbeli. Jos a > 0 on hyperbelin poikittaisakseli suoralla y = x ja liittoakseli suoralla y = -x ja jos a < 0 on hyperbelin poikittaisakseli suoralla y = -x ja liittoakseli suoralla y = x. Asymptootteina ovat koordinaattiakselit.

Kuva 12. Yhtälön xy = 1 kuvaaja

Kuva 13. Yhtälön xy = -1 kuvaaja

Tehtävä 7. Piirrä hyperbeli 9x2 + 16y2 = -144.

Tehtävä 8. Piirrä hyperbeli .


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio