<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Paraabeli

Esitiedot:juuret, kanta ja koordinaatisto

Määritelmä 6. Geometrisen määrittelyn mukaan paraabeli on niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys valitusta suorasta (johtosuorasta) ja valitusta pisteessä (polttopisteestä) on yhtä suuri.

Animaatio 3. Tämä animaatio esittää vinossa olevaa paraabeli, jonka polttopiste on origossa ja johtosuora on laskeva suora, jonka kulmakerroin on -1 ja jonka etäisyys origosta muuttuu.

Esimerkki 2. Etsitään paraabelin yhtälö määritelmän pohjalta. Valitaan johtosuoraksi x-akselin suuntainen suora y = k ja valitaan polttopisteeksi (x0y0) johtosuoran yläpuolelta (y0 > k). Valitaan jokin tason piste (x, y), joka on johtosuoran yläpuolella (y > k).

Kuva 6. Pisteen (xy) etäisyys johtosuorasta y = k ja polttopisteestä (x0y0).

Merkitään pisteen etäisyys johtosuorasta (d1) ja polttopisteestä (d2) yhtäsuuriksi:


 (y - k)2 = (x - x0)2 + (y - y0)2
 y2 - 2ky + k2 = x2 - 2x0x + x02 + y2 - 2y0y + y02
 2(y0 - k)y = x2 - 2x0x + x02 + y02 - k2

Merkitään x:n toisen ja ensimmäisen asteen kertoimia vakioilla a, b ja vakiotermiä c:llä.

Määritelmä 7. Polynomin ax2 + bx + c (a  0) kuvaaja on ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli. Paraabelin yhtälön normaalimuoto on

( 10 ) y = ax2 + bx + c,

jossa vakio a  0 Tämä paraabeli aukeaa ylöspäin, jos a > 0 ja alaspäin, jos a < 0.

Animaatio 4. Tämä animaatio esittää toisen asteen kertoimen suuruuden vaikutusta paraabelin muotoon.

Animaatio 5. Tämä animaatio esittää vakiotermin suuruuden vaikutusta paraabelin paikkaan.

Jos tämä paraabeli leikkaa x-akselin pisteissä x1 ja x2, niin sen huipunx -koordinaatti on ja paraabelin symmetria-akselin yhtälö on

( 11 )

Kuva 7. Polynomin 2x2 + 2x - 4 kuvaaja

Tehtävä 5. Piirrä paraabelin y = x2 + 4x + 1 kuvaaja.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio