<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio

Tason suora

Esitiedot:tangentti ja kotangentti, kanta ja koordinaatisto

Seuraavat tarkastelut tapahtuvat tasossa. Annetun pisteen P kautta kulkee aina äärettömän monta suoraa. Samoin annetun suoran s suuntaisia suoria on äärettämän monta. Sen sijaan annetun pisteen P kautta kulkevia ja annetun suoran s suuntaisia suoria on täsmälleen yksi.

Kuva 2. Tason suoria

Määritelmä 1. xy -tasolle piirretyn suoran suuntakulma on se terävä kulma, jonka suora muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Tämän kulman ollessa x-akselin yläpuolella on  > 0 ja alapuolella  < 0; x-akselin suuntaiselle suoralle  = 0 ja y-akselin suuntaiselle  = . Yleisesti - <   .

Kuva 3. Suoran suuntakulma

Suoran suuntavektoriksi voidaan valita mikä tahansa suoran suuntainen vektori s = s1i + s2 j, s  0. Tässä i ja j ovat tason kantavektorit.

Määritelmä 2. Jos suoran suuntakulma on ja suuntavektori s = s1i + s2 j, s  0, niin tämän suoran kulmakerroin

( 1 )

Suora on nouseva jos k > 0, laskeva jos k < 0, x-akselin suuntainen jos k = 0 ja y-akselin suuntainen jos kulmakerrointa ei ole määritelty.

Animaatio 1. Tämä animaatio esittää kulmakertoimen suuruuden vaikutusta suoran kaltevuuteen.

Jos suora kulkee pisteiden (x1y1) ja (x2y2) kautta, niin sen kulmakerroin on tällöin yhtälön

( 2 )

mukainen, mikäli x1  x2.

Suoran normaalivektoriksi voidaan valita mikä tahansa vektori, joka on kohtisuorassa suoran suuntavektoria vastaan. Suoran normaaliksi sanotaan normaalivektorin suuntaista suoraa. Janan keskinormaaliksi sanotaan janan keskipisteen kautta kulkevaa normaalia.

Kuva 4. Suoran suuntavektori ja normaalivektori

Suoran suunta voidaan koordinaatistossa ilmoittaa muun muassa suuntakulman avulla. Jos suuntakulma on negatiivinen, niin suora on laskeva. Jos suuntakulma on positiivinen, mutta ei suorakulma, niin suora on nouseva.

Muita tapoja ilmoittaa suoran suunta koordinaatistossa on suuntavektori ja kulmakerroin.

Kulmakertoimen avulla voidaan kirjoittaa suoralle yhtälö, jota sanotaan suoran kulmakerroinmuotoiseksi yhtälöksi.

Määritelmä 3. Olkoon k pisteen (x0y0) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Tällöin kyseisen suoran kulmakerroinmuotoinen yhtälö on

( 3 ) y - y0 = k(x - x0).

Jokainen suoran yhtälö voidaan kirjoittaa normaalimuotoon

( 4 ) ax + by + c = 0,

missä a  0 tai b  0. Kääntäen jokainen tätä muotoa oleva yhtälö esittää suoraa. Korostettakoon, että tämä ominaisuus on voimassa vain tason suorien tapauksessa.

Suoran ax + by + c = 0 suuntavektoriksi ja normaalivektoriksi voidaan valita

( 5 ) s = -bi + j,

( 6 ) n = ai + j.

Määritelmä 4. Olkoon k sellaisen suoran kulmakerroin, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0, b). Tällöin kyseisen suoran yhtälö on

( 7 ) y = kx + b.

Animaatio 2. Tämä animaatio esittää vakiotermin suuruuden vaikutusta suoran paikkaan.

Esimerkki 1. Suoran kulmakerroin on 3 ja se kulkee pisteen (1, 2) kautta. Tällöin suoran yhtälö on muotoa

y - 2 = 3(x - 1)
 y = 3x - 1

Tehtävä 1. Määritä sellainen suoraa y = 3x - 1 vastaan kohtisuorassa olevan suora, joka kulkee pisteen (3, 1) kautta.

Tehtävä 2. Määritä sellaisen suoran yhtälö, joka on vektorin i + 2 j suuntainen ja joka kulkee pisteen (1, 1) kautta.

Tehtävä 3. Lineaarisen yhtälöparin yksikäsitteinen ratkaisu voidaan tulkita kahden suoran leikkauspisteenä. Mitä tilannetta vastaavat lineaarisen yhtälöparin äärettömän monta ratkaisua tai nolla ratkaisua.


<< >> Ylös Sisällysluettelo Hakemisto Kommunikaatio