Määrätyn integraalin määrittely

Olkoon annettuna suljetulla välillä määritelty reaaliarvoinen funktio f. Tämän ei tarvitse olla derivoituva eikä edes jatkuva.

Jaetaan väli osaväleihin jakopisteillä , joille pätee

Osavälejä on tällöin n kappaletta. Niiden pituuksia merkitään ; osavälien ei tarvitse olla yhtä pitkiä. Olkoon jokin k:nnen osavälin piste: .

Funktion f arvoista välillä muodostettua summaa

kutsutaan Riemannin summaksi.

Lisätään jakopisteiden määrää välin jaossa siten, että pisteiden määrän kasvaessa pisimmänkin osavälin pituus lähestyy nollaa. (Tämä merkitsee jaon tihentämistä tietyssä mielessä tasaisesti, so. suurin piirtein samalla tavoin välin eri osissa.) Tällöin vastaavassa Riemannin summassa ja , ts. termien lukumäärä kasvaa, mutta samalla jokainen yksittäinen termi lähestyy nollaa. Ei ole selvää, miten Riemannin summa tällöin käyttäytyy; kumpi voittaa, äärettömyyteen vievä termien lukumäärä vai nollaan vievä yksittäisten termien suuruus.

Jos Riemannin summalla edellä kuvatussa rajaprosessissa on raja-arvo riippumatta siitä, miten pisteet osaväleiltä valitaan ja miten jaon tasainen tihentäminen tapahtuu, sanotaan, että funktio f on integroituva välillä ja sen määrätty integraali on mainittu raja-arvo. Merkitään

Rajaprosessi on luonteeltaan erilainen kuin lukujonon tai funktion raja-arvo. Itse asiassa määrätyn integraalin täsmällinen määrittely edellyttäisi tämänkin raja-arvotyypin määrittelyä -tekniikalla.

Voidaan osoittaa, että jos f on jatkuva funktio, niin Riemannin summan raja-arvo on olemassa. Se on olemassa myös monille epäjatkuville funktioille, mutta ei kaikille.

Integraalien käyttö perustuu usein Riemannin summien mukaiseen ajatteluun, kuten seuraavat esimerkit osoittavat.

Esimerkki 1.

Ilmakehän tiheys korkeudella z on karkean mallin mukaan

missä korkeus annetaan metreissä ja tiheyden yksikkönä on . Sadan kilometrin korkeudessa on ilma jo niin ohutta, että voidaan katsoa ilmakehän kokonaisuudessaan olevan tätä alempana.

Ilmanpaine maanpinnalla aiheutuu yläpuolella olevan ilmamassan painosta. Paine voidaan siis laskea määrittämällä esimerkiksi neliömetrin suuruisen alueen yläpuolella olevan ilmapatsaan massa. Ongelmana on, että ilman tiheys ei ole vakio, vaan pienenee eo. kaavan mukaisesti.

Likimääräisesti ilmamäärä voidaan laskea jakamalla patsas esimerkiksi kilometrin korkuisiin osapatsaisiin ja käyttämällä jokaisen osan tiheydelle osapatsaan puolen välin arvoa. Tällöin saadaan summa

missä ja . Laskemalla summa saadaan .

Jos patsas jaetaankin sadan metrin korkuisiin osapatsaisiin, saadaan vastaavalla tavalla

Summan arvo on .

Kumpikin ovat edellä esitetyn tarkastelun mukaisia Riemannin summia. Jälkimmäinen on saatu edellisestä tihentämällä jakovälien pituudet kymmenesosaan. Jos jakoa edelleen tihennetään, summat lähestyvät ilmakehän paksuuden (0 -- 100 000 m) yli otettua integraalia

Tämän arvo on , kuten integroimalla voidaan todeta.

Vertailun vuoksi laskettakoon em. ilmamassan painoisen, neliömetrin alalle sopivan elohopeapatsaan korkeus. Koska elohopean tiheys on , saadaan patsaan korkeudeksi metriä, mikä vastaa varsin hyvin normaalia ilmanpainetta 760 mmHg.

Esimerkki 2.

Olkoon funktio f jatkuva ja suljetulla välillä . Kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa voidaan approksimoida seuraavalla tavalla:

Käyrän alle jäävä pinta-ala

Jaetaan väli osaväleihin pisteissä , missä . Muodostetaan suorakulmiot, joiden kantana on x-akselin osaväli (pituudeltaan ) ja korkeus määräytyy funktion osavälillä saamien arvojen mukaan: , missä . Alaa approksimoi tällöin suorakulmioiden pinta-alojen summa

Tämä on muodoltaan jälleen Riemannin summa.

Mitä tiheämpi välin jako on, sitä tarkemmin suorakulmiot antavat etsityn pinta-alan ja toisaalta sitä lähempänä Riemannin summa on vastaavaa integraalia. Ala on siis sama kuin integraali

Edellä sanottu pätee vain, mikäli tarkasteluvälillä. Jos f saa negatiivisia arvoja, tulee vastaavan alueen pinta-ala otetuksi huomioon negatiivisena Riemannin summassa ja myös integraalissa.

Määrätyn integraalin ja integraalifunktion yhteys

Määrätty integraali voidaan laskea integraalifunktion avulla. Jos nimittäin on jokin funktion integraalifunktio kaikilla , on

Tulos tunnetaan analyysin peruslauseen nimellä. Todistusta ei tässä käsitellä.

Usein merkitään myös

Esimerkiksi

Funktion f integraalifunktio voidaan myös lausua määrätyn integraalin muodossa. Koska , on myös

Integraalifuntio voidaan siis kirjoittaa muotoon

Huomattakoon, että määrätyn integraalin integroimismuuttuja --- edellä t --- voi olla mikä tahansa. Sehän katoaa lausekkeesta rajojen sijoittamisen jälkeen.

Integraalien laskemista helpottavat seuraavat ominaisuudet.

Summa voidaan integroida termeittäin ja vakio voidaan siirtää integraalimerkin eteen:

Näitä kutsutaan yhteisellä nimellä integraalin lineaarisuudeksi.

Integraali on myös additiivinen integroimisvälin suhteen:

Esimerkkejä

1) Funktio on ei-negatiivinen välillä . Kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on

2) Käyrät ja rajaavat välillä kaksiosaisen alueen. Koska käyrät leikkaavat toisensa, kun , on alueen pinta-ala laskettava kahdessa osassa:

ja

3) R-säteisen ympyrän voidaan katsoa muodostuvan samankeskisistä ympyrärenkaista. Jos ympyrärengas, jonka sisäsäde on ja ulkosäde , leikataan poikki ja taivutetaan sisäreunaa sopivasti venyttäen ja ulkoreunaa sopivasti kuroen suorakulmioksi, saadaan suorakulmio, jonka pinta-ala on täsmälleen sama kuin ympyrärenkaan pinta-ala. Suorakulmion leveys on tällöin ja pituus , missä säde on valittu sopivasta kohdasta: .

Ympyrän jako samankeskisiin ympyrärenkaisiin

Ympyrän ala on tällöin suorakulmioiden alojen summa: . Tämä on Riemannin summa, joka jakoa tihennettäessä, so. jaettaessa ympyrä yhä useampiin ja yhä kapeampiin ympyrärenkaisiin, lähenee integraalia

Ei siis ole sattuma, että ympyrän pinta-alan derivaatta on sen kehänpituus!

Historiaa

Integraalin käsitettä voidaan lähestyä kahdesta näkökulmasta: Integrointi derivoinnin käänteistoimituksena ja integraali tietynlaisena summan raja-arvona. Analyysin peruslause kytkee nämä yhteen.

Historiallisesti jälkimmäinen, integraali summan raja-arvona, on vanhempi. Ensimmäiset merkit tähän suuntaan vievästä ajattelusta on löydettävissä jo vanhalta ajalta Eukleideen Stoikheia-teoksesta ja Arkhimedeen tarkasteluista eräiden pinta-alojen määrittämiseksi. Tällöin puhutaan ekshaustiomenetelmästä; määritettävä pinta-ala ikäänkuin tyhjennetään poistamalla siitä yhä pienempiä suorakulmioita tai muutoin pinta-alaltaan tunnettuja osia.

Pohjois-Italiassa 1600-luvun alkupuolella tarkastelivat Galileo Galilei ja hänen oppilaansa Bonaventura Cavalieri kuvioiden muodostumista jakamattomista osista ('indivisiibeleistä'). Esimerkiksi kolmion voidaan katsoa muodostuvan sen yhden sivun suuntaisista janoista, jotka lyhenevät siirryttäessä kohden vastakkaista kärkeä. Tältä pohjalta määritettiin kuvioiden pinta-aloja. Arabimatemaatikoiden kehittämä algebra oli jo tällöin levinnyt Eurooppaan ja geometristen probleemojen käsittelyssä saatettiin käyttää myös algebrallisia menetelmiä.

1600-luvun loppupuolella aika oli kypsä meidän tuntemamme integraalilaskun syntymiseen. Englantilainen Isaac Newton loi differentiaalilaskennan ja sen käänteisoperaationa integroinnin. Samaan aikaan saksalaisen Gottfried Wilhelm Leibniz otti käyttöön määrätyn integraalin käsitteen summan raja-arvona. Molemmat tunsivat integraalilaskun kahden näkökulman välisen yhteyden. Integraalimerkintä on peräisin Leibnizilta. Integraalimerkki on venytetty S, sanan summa alkukirjain.

Määrätyn integraalin täsmällinen määrittely sellaisena kuin se nykyään esitetään on kuitenkin peräisin vasta viime vuosisadalta ranskalaisen Augustin Louis Cauchyn ja saksalaisen Bernhard Riemannin töistä.

Tämän jälkeenkin integraalikäsitettä on yleistetty. Yliopistollisissa peruskursseissa käsitellään yleensä Riemannin integraalia, jolla kuitenkin on rajoituksensa. Pidemmälle menevät matematiikan kurssit edellyttävät ranskalaisen Henri Lebesguen (1875 -- 1941) mukaan nimettyä, hieman abstraktimpaa integraalikäsitettä.