Tasoalueen pinta-ala

Jos funktio f saa välillä vain ei-negatiivisia arvoja, so. , kun , voidaan kuvaajan , x-akselin ja suorien x = a, x = b rajaaman alueen pinta-ala laskea suoraan integraalista .

Jos välillä on , antaa integraali vastaavan pinta-alan negatiivisena.

Jos funktio vaihtaa merkkiään välillä , ottaa integraali x-akselin ylä- ja alapuolella olevien alueiden alat huomioon positiivisina ja negatiivisina kuvan osoittamalla tavalla. Jos kaikkien osa-alueiden alat halutaan positiivisina, on väli jaettava osiin funktion f nollakohdissa, laskettava erikseen integraali jokaisen osavälin yli ja tuloksia yhteenlaskettaessa otettava osaintegraalien merkit huomioon.

Kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala

Usein on yksinkertaisinta ajatella, että laskettava ala jaetaan kapeisiin pystysuoriin suorakulmioihin ja summeerataan näiden pinta-alat positiivisina. Tällöin saadaan Riemannin summa, joka jakoa tihennettäessä, so. suorakulmioita kavennettaessa johtaa määrättyyn integraaliin. Tämä ajattelu toimii myös, kun laskettavana on kahden käyrän väliin jäävä ala.

Esimerkki

Olkoon laskettavana sen segmentin ala, joka jää paraabelin ja suoran y = kx + b väliin. Tällöin oletetaan, että vakiot a, k ja b ovat siten valitut, että suora todella on paraabelin sekantti; oletetaan lisäksi, että paraabeli aukeaa ylöspäin, ts. a > 0.

Ratkaisemalla yhtälöryhmä

saadaan paraabelin ja suoran leikkauspisteiden x-koordinaateiksi

Tässä .

Paraabelinsegmentti ja Riemannin summan suorakulmiot

Koska segmentti sijaitsee välillä ja tällä välillä suora on paraabelia ylempänä, on kohdassa sijaitsevan suorakulmion korkeus ja kanta , mikä johtaa alaa approksimoivaan Riemannin summaan . Jakoa tihennettäessä tämä lähestyy integraalia

Mekaaninen integraalin laskeminen antaa pinta-alaksi

Tulos on pätevä myös, jos a < 0. Riemannin summassa tosin suorakulmion korkeus on tällöin negatiivinen, mutta tästä aiheutuva merkkivirhe kumoutuu siinä, että rajojen ja suuruusjärjestys muuttuu päinvastaiseksi, kun a < 0.

Tilavuuden laskeminen

Olkoon tarkasteltavana kappale, jonka läpi x-akseli kulkee. Jaetaan tämä ohuisiin viipaleisiin x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla. Olkoon kappaleen tasoleikkauksen pinta-ala , kun leikkaava taso on kohdassa . Jos tässä kohdassa olevan viipaleen paksuus on , on viipaleen tilavuus . Koko kappaleen tilavuutta approksimoi Riemannin summa , missä summeeraus ulotetaan kaikkiin viipaleisiin. Viipaleita ohennettaessa tämä johtaa kappaleen tilavuutta esittävään määrättyyn integraaliin

missä ja ovat kappaleen äärimmäisten pisteiden x-koordinaatit.

Viipaloitu kappale

Yleensä x-akseli mielletään vaakasuoraksi. Edellä olevassa tarkastelussa akselin ei välttämättä tarvitse olla vaakasuora, vaan aivan yhtä hyvin kelpaa minkä suuntainen akseli tahansa, kunhan akselia vastaan kohtisuorien tasoleikkausten pinta-ala on laskettavissa. Yleensä akseliksi on syytä valita jokin suora, jonka suhteen kappale on symmetrinen.

Esimerkki

Pallonmuotoisen öljysäiliön säde on R ja säiliössä on öljyä korkeuteen h saakka; . Mikä on öljyn tilavuus?

Sijoitetaan kolmiulotteinen xyz-koordinaatisto siten, että origo on pallonmuotoisen säiliön keskipisteessä. Symmetria-akseliksi valitaan pystysuora z-akseli.

Pallonmuotoinen öljysäiliö

Korkeudella oleva vaakasuora tasoleikkaus on tällöin ympyrä, jonka säde on Pythagoraan mukaan . Tasoleikkauksen ala on siten . Vaakasuoran öljyviipaleen tilavuutta esittää tällöin lauseke ja koko öljymäärää Riemannin summa , missä summeerataan kaikki öljykerrokset huomioon ottaen.

Öljymäärä sijaitsee säiliössä alueella, missä z-koordinaatit ovat välillä . (Jos h = 0, saadaan vain säiliön alin piste z = -R; jos h = 2R, on öljyä välillä , so. koko pallossa.) Riemannin summaa vastaa tällöin integraali

mikä antaa öljytilavuudeksi

Jos erityisesti h = 2R, saadaan pallon tilavuus .

Pyörähdyspinnan ala

Pyörähtäköön käyrä , , x-akselin ympäri, jolloin syntyy pyörähdyspinta.

Tämän pinta-ala voidaan laskea jakamalla pinta ympyränmuotoisiin suikaleisiin x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla. Jokainen suikale on likimain katkaistu kartio. Tämän ala on , missä ja ovat ala- ja yläpohjan säteet sekä s sivujanan pituus.

Jos leikkaustasot sijaitsevat kohdissa , ovat pohjien säteet ja . Sivujanan pituus on Pythagoraan mukaan

missä on käytetty differentiaalikehitelmää ja merkintää .

Summeeraamalla suikaleiden pinta-alat saadaan

Tämä ei ole Riemannin summa (koska funktioiden arvoja on laskettu sekä pisteessä että pisteessä ), mutta voidaan kuitenkin osoittaa, että jakoa tihennettäessä päädytään integraaliin

joka siis esittää pyörähdyspinnan alaa.

Esimerkki

Pallopinta syntyy ympyränkaaren pyörähtäessä x-akselin ympäri välillä . Koska

saadaan pyörähdyspinnan alaksi

Myös pallon tilavuus voidaan laskea sen pinta-alan perusteella. Pallo jaetaan tällöin samankeskisiksi pallokuoriksi, joiden paksuus on . Kuoren tilavuus on tällöin likimain , jolloin pallon tilavuutta approksimoi Riemannin summa . Pallon tilavuus saadaan siis integraalista:

Lasku on samanlainen kuin ympyrän alan laskeminen kehän pituuden perusteella. Ei siis myöskään ole sattuma, että pallon pinta-ala on tilavuuden derivaatta!